Pengertian dan Konsep Dasar
Sebelum membahas tentang penyelesaian dari persamaan atau ketidaksetaraan matematika, ada baiknya kita memahami terlebih dahulu pengertian dan konsep dasar yang terkait. Dalam matematika, persamaan adalah pernyataan yang menyatakan kesetaraan antara dua ekspresi, sedangkan ketidaksetaraan adalah pernyataan yang menyatakan ketidakkesetaraan antara dua ekspresi.
Pada artikel ini, kita akan membahas penyelesaian dari ketidaksetaraan |5-3x|≥|x+1|. Ketidaksetaraan ini mengandung ekspresi dengan nilai absolut (| |), yang menunjukkan jarak antara suatu bilangan dengan nol. Untuk menentukan himpunan penyelesaiannya, kita perlu memahami beberapa konsep dasar terlebih dahulu.
Nilai Absolut (| |)
Nilai absolut (| |) dari suatu bilangan adalah bilangan tersebut tanpa memperhatikan tanda positif atau negatif. Misalnya, |5| = 5 dan |-3| = 3. Dalam konteks ketidaksetaraan, nilai absolut digunakan untuk menunjukkan jarak antara suatu bilangan dengan nol.
Penggunaan Nilai Absolut dalam Ketidaksetaraan
Ketidaksetaraan |5-3x|≥|x+1| mengandung ekspresi dengan nilai absolut. Dalam hal ini, kita perlu memahami bagaimana menggunakan nilai absolut untuk menentukan himpunan penyelesaiannya.
Aturan dasar dalam menggunakan nilai absolut dalam ketidaksetaraan adalah:
- Jika |a| ≥ b, maka a ≥ b atau a ≤ -b.
- Jika |a| ≤ b, maka -b ≤ a ≤ b.
Penjelasan Aturan Pertama
Pada aturan pertama, jika |a| ≥ b, maka terdapat dua kemungkinan:
a) a ≥ b
b) a ≤ -b
Untuk memahami aturan ini, mari kita terapkan pada ketidaksetaraan |5-3x|≥|x+1|.
Penyelesaian Kasus Pertama: |5-3x| ≥ x+1
Untuk menyelesaikan kasus pertama, yaitu |5-3x| ≥ x+1, kita perlu melakukan beberapa langkah berikut:
- Buang tanda absolut pada kedua sisi ketidaksetaraan.
- Pecahkan ketidaksetaraan menjadi dua kasus tergantung pada tanda dalam nilai absolut.
- Selesaikan masing-masing kasus.
- Gabungkan solusi dari kedua kasus untuk mendapatkan himpunan penyelesaiannya.
Langkah Pertama: Buang Tanda Absolut
Untuk membuang tanda absolut, kita perlu memperhatikan dua kemungkinan:
1) Jika ekspresi di dalam nilai absolut bernilai positif atau 0, maka kita dapat menghapus tanda absolut.
2) Jika ekspresi di dalam nilai absolut bernilai negatif, maka kita perlu menggantinya dengan ekspresi yang bernilai positif dengan tanda berlawanan (negatif).
Dalam kasus |5-3x| ≥ x+1, ekspresi di dalam nilai absolut adalah (5-3x) dan (x+1). Kita akan membahas kedua kasus tersebut secara terpisah.
Kasus Pertama: Ekspresi (5-3x) ≥ x+1
Pada kasus pertama, kita memiliki ketidaksetaraan 5-3x ≥ x+1. Untuk menyelesaikannya, ikuti langkah-langkah berikut:
Langkah Pertama: Buang Tanda Absolut
5-3x ≥ x+1
Langkah pertama adalah membuang tanda absolut pada kedua sisi ketidaksetaraan. Dalam hal ini, kita dapat menghapus tanda absolut tanpa mengubah ketidaksetaraan tersebut.
Langkah Kedua: Pecahkan Ketidaksetaraan menjadi Dua Kasus
Dalam langkah ini, kita akan memecahkan ketidaksetaraan menjadi dua kasus tergantung pada tanda dalam nilai absolut. Mari kita lanjutkan dengan kasus pertama.
Kasus Pertama: 5-3x ≥ x+1
Pada kasus pertama, kita memiliki ketidaksetaraan 5-3x ≥ x+1. Untuk menyelesaikannya, ikuti langkah-langkah berikut:
Langkah Ketiga: Selesaikan Kasus Pertama
Pada kasus pertama, kita memiliki ketidaksetaraan 5-3x ≥ x+1. Untuk menyelesaikannya, ikuti langkah-langkah berikut:
Langkah Pertama: Pindahkan Semua Variabel ke Sebelah Kiri
5-3x ≥ x+1
4-3x ≥ x
Langkah Kedua: Gabungkan Variabel yang Sama
4-3x ≥ x
4 ≥ 4x
1 ≥ x
Langkah Ketiga: Tentukan Himpunan Penyelesaiannya
1 ≥ x
Dalam kasus ini, himpunan penyelesaiannya adalah x ≤ 1. Ini berarti bahwa nilai x harus kurang dari atau sama dengan 1 agar ketidaksetaraan |5-3x| ≥ |x+1| terpenuhi.
Kasus Kedua: Ekspresi (5-3x) ≤ -(x+1)
Pada kasus kedua, kita memiliki ketidaksetaraan 5-3x ≤ -(x+1). Untuk menyelesaikannya, ikuti langkah-langkah berikut:
Langkah Pertama: Buang Tanda Absolut
5-3x ≤ -(x+1)
Langkah pertama adalah membuang tanda absolut pada kedua sisi ketidaksetaraan. Dalam hal ini, kita dapat menghapus tanda absolut tanpa mengubah ketidaksetaraan tersebut.
Langkah Kedua: Pecahkan Ketidaksetaraan menjadi Dua Kasus
Dalam langkah ini, kita akan memecahkan ketidaksetaraan menjadi dua kasus tergantung pada tanda dalam nilai absolut. Mari kita lanjutkan dengan kasus kedua.
Kasus Kedua: 5-3x ≤ -(x+1)
Pada kasus kedua, kita memiliki ketidaksetaraan 5-3x ≤ -(x+1). Untuk menyelesaikannya, ikuti langkah-langkah berikut:
Langkah Ketiga: Selesaikan Kasus Kedua
Pada kasus kedua, kita memiliki ketidaksetaraan 5-3x ≤ -(x+1). Untuk menyelesaikannya, ikuti langkah-langkah berikut:
Langkah Pertama: Pindahkan Semua Variabel ke Sebelah Kiri
5-3x ≤ -(x+1)
5-3x ≤ -x-1
Langkah Kedua: Gabungkan Variabel yang Sama
5-3x ≤ -x-1
4x ≤ 6
x ≤ 3/2
Langkah Ketiga: Tentukan Himpunan Penyelesaiannya
x ≤ 3/2
Dalam kasus ini, himpunan penyelesaiannya adalah x ≤ 3/2. Ini berarti bahwa nilai x harus kurang dari atau sama dengan 3/2 agar ketidaksetaraan |5-3x| ≥|x+1| terpenuhi.
Gabungkan Solusi dari Kedua Kasus
Setelah menyelesaikan kedua kasus, kita perlu menggabungkan solusi dari masing-masing kasus untuk mendapatkan himpunan penyelesaiannya. Dalam hal ini, kita memiliki:
Kasus 1: x ≤ 1
Kasus 2: x ≤ 3/2
Untuk mendapatkan himpunan penyelesaian yang akurat, kita perlu mencari nilai x yang memenuhi kedua kasus tersebut. Oleh karena itu, himpunan penyelesaiannya adalah:
x ≤ 1 dan x ≤ 3/2
Karena x harus memenuhi kedua batasan tersebut, maka himpunan penyelesaiannya adalah:
x ≤ 1
Dengan demikian, nilai x harus kurang dari atau sama dengan 1 agar ketidaksetaraan |5-3x| ≥ |x+1| terpenuhi.
Kesimpulan
Dalam artikel ini, kita telah membahas tentang penyelesaian dari ketidaksetaraan |5-3x|≥|x+1|. Dengan memahami konsep nilai absolut dan aturan-aturan penyelesaian ketidaksetaraan, kita dapat menentukan himpunan penyelesaiannya. Dalam kasus ini, himpunan penyelesaiannya adalah x ≤ 1. Ini berarti bahwa nilai x harus kurang dari atau sama dengan 1 agar ketidaksetaraan tersebut terpenuhi. Semoga artikel ini bermanfaat dalam pemahaman konsep dasar matematika dan penyelesaian ketidaksetaraan.
