Pengenalan
Pertidaksamaan nilai mutlak adalah bentuk persamaan matematika yang melibatkan dua nilai mutlak dan membandingkannya. Dalam pertidaksamaan ini, kita akan menjelajahi pertidaksamaan nilai mutlak |2x-1| > |x+2| dan mencari solusi yang memenuhi.
Definisi Nilai Mutlak
Sebelum kita memahami pertidaksamaan nilai mutlak |2x-1| > |x+2|, mari kita perjelas terlebih dahulu konsep nilai mutlak. Nilai mutlak, yang ditunjukkan oleh tanda garis vertikal (| |), adalah jarak suatu bilangan terhadap nol pada garis bilangan.
Sebagai contoh, jika kita memiliki |x| = 5, maka kita mencari bilangan-bilangan x yang memiliki jarak 5 dari nol. Dalam hal ini, nilai x dapat berupa 5 atau -5.
Persamaan Nilai Mutlak
Persamaan nilai mutlak adalah persamaan matematika yang menggunakan nilai mutlak untuk menyatakan hubungan antara suatu ekspresi dengan nol. Misalnya, jika kita memiliki persamaan |x-3| = 7, maka kita mencari nilai-nilai x yang menjadikan jarak antara x dan 3 menjadi 7.
Untuk memecahkan persamaan nilai mutlak, kita harus mempertimbangkan dua kemungkinan: ketika ekspresi di dalam nilai mutlak positif dan ketika ekspresi di dalam nilai mutlak negatif.
Pertidaksamaan Nilai Mutlak |2x-1| > |x+2|
Sekarang, mari kita fokus pada pertidaksamaan nilai mutlak |2x-1| > |x+2|. Tujuan kita adalah mencari solusi atau rentang nilai x yang memenuhi pertidaksamaan ini.
Mengidentifikasi Kemungkinan Solusi
Untuk memecahkan pertidaksamaan ini, kita perlu mempertimbangkan dua kemungkinan: ketika ekspresi di dalam nilai mutlak positif dan ketika ekspresi di dalam nilai mutlak negatif.
Kasus Pertama: Ekspresi di Dalam Nilai Mutlak Positif
Pertama, kita akan mempertimbangkan kasus ketika ekspresi di dalam nilai mutlak positif, yaitu (2x-1) dan (x+2) keduanya positif.
Jika (2x-1) > 0 dan (x+2) > 0, maka kita dapat mencari nilai x yang memenuhi kedua persamaan tersebut. Dalam hal ini, kita hanya perlu mencari nilai x yang lebih besar dari -2.
Mari kita selesaikan persamaan (2x-1) > 0 terlebih dahulu:
(2x-1) > 0
2x > 1
x > 1/2
Selanjutnya, kita selesaikan persamaan (x+2) > 0:
x+2 > 0
x > -2
Jadi, solusi untuk kasus pertama adalah x > 1/2 dan x > -2.
Kasus Kedua: Ekspresi di Dalam Nilai Mutlak Negatif
Selanjutnya, kita akan mempertimbangkan kasus ketika ekspresi di dalam nilai mutlak negatif, yaitu (2x-1) dan (x+2) keduanya negatif.
Jika (2x-1) < 0 dan (x+2) < 0, maka kita juga mencari nilai x yang memenuhi kedua persamaan tersebut. Dalam hal ini, kita hanya perlu mencari nilai x yang lebih kecil dari -2.
Mari kita selesaikan persamaan (2x-1) < 0 terlebih dahulu:
(2x-1) < 0
2x < 1
x < 1/2
Selanjutnya, kita selesaikan persamaan (x+2) < 0:
x+2 < 0
x < -2
Jadi, solusi untuk kasus kedua adalah x < 1/2 dan x < -2.
Menyatukan Solusi
Setelah mempertimbangkan kedua kasus di atas, kita dapat menyatukan solusi dari |2x-1| > |x+2| dengan menggabungkan hasil dari masing-masing kasus.
Jadi, solusi dari pertidaksamaan nilai mutlak |2x-1| > |x+2| adalah x < 1/2 dan x 1/2 dan x > -2.
Kesimpulan
Pertidaksamaan nilai mutlak |2x-1| > |x+2| memiliki solusi x < 1/2 dan x 1/2 dan x > -2. Pertidaksamaan ini dapat diselesaikan dengan mempertimbangkan kasus ketika ekspresi di dalam nilai mutlak positif dan negatif. Dengan memahami konsep persamaan dan pertidaksamaan nilai mutlak, kita dapat menyelesaikan berbagai masalah matematika yang melibatkan pertidaksamaan nilai mutlak.
